本文介绍一种当今世界最先进的手算开平方法—-扩幂开方术。本方法可以通过一些初等运算，求出一个符合任意精度要求的，用分数表示的平方根近似值，如需要小数形式，再用普通除法即可。

在初等数学中，开平方是很寻常的运算。在电子计算机出现以前，开平方都是靠人手工计算的。早在公元一世纪，中国东汉初期成书的《九章算术》“少广”章，就记载了世界上最早的定式化开平方法，国外到公元五世纪，也有了关于开平方法的介绍。即便是现在，在手边没有计算器，或者不允许使用计算器的情况下，有时也需要用手算开平方。中学生会经常遇到一些需要估算平方根的题，网上也经常能刷到这样的题。

在介绍扩幂开方术之前，有必要了解一下目前通行的手工开平方法。现在流行的手算开平方，主要是三种：长除法，连分数法，牛顿迭代法。下面逐一做简单介绍。（不感兴趣的可直接下划到扩幂开方术部分）

目前使用的手算开平方法

一.长除法

这是目前流行最广的一种手工开平方的方法，在几十年前的初中数学课本最后面几页，有这种开方法的介绍，属于选学内容。

下图是用长除法给1234开平方的详细图解。

长除法手算开平方

网上讲解这种方法的文字或视频资源很多，有兴趣的网友可自己搜索学习，这里不做详述。

如果被开方数恰好是一个平方数，正好可以开尽，或者要求的有效数字位数不多，这种方法还是挺实用的。但如果所求的平方根是一个无理数，且要求的有效数字位数较多，则计算量迅速加大。每多开一位，都要用已经开出的位数乘以20，再加上预估的下一位数字，作为新的除数。如果要开出八位有效数字，则要用0补位到15或16位，是一件很繁琐的工作。

不少人认为，这种方法开出的每一位数字，都是精确值，但实际随着有效数字的增加，计算量也迅速增大，要开出多位是很困难的。而且对无理数来说，我们得到的任何有限位数，都只能算是近似值，而非精确值。

这种方法的原理，也不是太容易理解，经常有网友问，为什么每算一位都要把已开出数字乘以20？不易理解，也就不利于学习记忆。

二.连分数法

这是流行度稍次于长除式的开平方法。

首先把被开方数S写成a2+b的形式，即S＝a2+b，（a＞＞b），a要尽量比b大，然后按照下图的公式进行计算：

连分数法开平方

随着计算层数的增多，精确度也越来越高，可以根据我们需要的精确度，来决定我们需要计算多少层。有时候，只计算一层就能达到所需的精确度，有时需要多计算几层才行。

不过这个公式并不能直接告诉我们已经达到的精确度，为确保能达到所需的精度要求，可能不得不多算一两层，这都要增加计算量。

在加减乘除四则运算中，除法是最复杂的运算，连分数法往往需要多算几次除法，因此该方法并不能算简便。

这个公式推导过程中用到的递归思想，超出中学生的知识范畴，在理解时可能会有些困难。

三.牛顿迭代法

牛顿迭代法开平方根，与巴比伦法是一样的。牛顿迭代法的论证推导过程，需要用到高等数学知识，这里不详述，只说结论操作部分。下图是用巴比伦法开平方根的过程：

巴比伦法

使用牛顿法（或称巴比伦法）时，有一个技巧，如果被开方数x是一个整数，那么选择X0时，最好选择整数或者分数，迭代运算过程中，始终使用分数进行计算，一直到最后需要小数结果时，再用除法把分数划成小数。这样可以减少计算量。

网上文章在介绍牛顿法时，往往会用一堆微积分的符号和算式进行推导论证，很容易让人失去读下去的兴趣，这可能是知道牛顿法的人比较少的原因吧。

巴比伦法的计算量也不小，即使迭代过程中用分数计算，仍然比较繁琐。

除了上述三种主流方法外，还有所谓的公式法，网上短视频讲解的也比较多，其实就是把连分数法的第一层，即√S＝a＋b／2a，当做开平方公式来用，精度很差，很多时候都达不到要求。于是有人把这个公式迭代使用，计算量自然也就增大了。

扩幂开方术

扩幂开方术是我独立发明的一种手算开方术，是目前世界上最简捷、最先进的手工开平方法。只需运用初中知识，通过一系列初等运算，求得一个符合任意精度要求的、用分数来表示的平方根近似值。因为是通过不断扩大被开方数来求解平方根，所以我命名为“扩幂开方术”。以前在网上的一些有关开平方的视频或文章的评论区，我演示过用这种方法开平方，今天详细介绍这种方法的应用及其原理。

前面介绍巴比伦算法时，截图里有求√5的示例，这里也先演示一下用扩幂开方术求√5的过程，看有什么异同。

√5＝（√5×4×4）／4

＝（√80×18×18）／4／18

＝（√25920×25921）／72／161

≈（25920＋25921）／2／11592

＝25920.5／11592

≈2.2360679779

这个结果，与巴比伦算法的x3是完全相同的，而本方法各步之间，是用等号相连的。

一.扩幂开方术的用法

（1）如果一个被开方数可以写成两个非常接近的数相乘的形式，即√S＝√ab，且a／b≈1，那么

√S＝√ab ≈（a＋b）／2

例1.求√4422＝？（精确到四位有效数字）。

解：√4422＝√67×66

≈（67＋66）／2

≈67.5

实际上√4422＝67.498……精确度是可以满足要求的。

这里须注意，a与b要足够接近，平方根要想达到四位有效数字的精度，a与b之间相差不应大于2%，即0.98＜a／b＜1.02；平方根要达到六位有效数字的精度，a与b之间相差不应大于2‰，即0.998＜a／b＜1.002；平方根要达到八位有效数字的精度，a与b之间相差不应大于0.02％，即0.9998＜a／b＜1.0002。在平方根的首位数字比较小时，a与b之间的差距可以略大于上述的数字。

用这种方法开平方根，误差是大致可以算出来的。如果把被开方数C写成ab相乘形式时，a／b与1相差较大，用算术平均数作为平方根达不到精度要求，也可以对算出的平方根进行误差修正，即直接代入下面的公式计算。

√C＝√ab

≈（a＋b）／2-（a-b）2／4（a＋b）

例2.求√42。

解：√42=√7×6

≈（7+6）／2-（7-6）2／4（7+6）

＝13／2-1／52

＝6.480769…

虽然7与6相差超过了14%，远超2%，但用公式后仍可轻松达到四位有效数字的精度。

如果a和b相差不到2%，那么代入上面公式后，可以精确到八位有效数字。

例3.求√4032。

解：√4032=√63×64

≈（63＋64）／2-（64-63）2／4（63＋64）

≈127／2-1／508

≈63.4980315

达到了九位有效数字精度。

不过扩幂开方术有更好的办法来提高精度，一般不必使用这个公式。

（2）如果被开方数不能直接写成两个很接近的数相乘的形式，那么先找到与被开方数最接近的平方数a2，然后根号下乘以a2，使被开方数成为两个接近的数相乘，同时根号外除以a，再用前面（1）介绍的方法求平方根近似值。

例4.求√65＝？（精确到四位有效数字）。

解：√65＝（√65×64）／8

≈64.5／8

＝8.0625

≈8.062

由于65与64之间相差不超过2%，即不超过1／50，所以可以达到四位有效数字的精度。用扩幂开方术求得的平方根近似值全都是略大于真实值，因此如本例关键数位上的5，只宜舍弃，而不能上入，使用中应注意。

网上经常见到一些求完全平方数的平方根的题目，用扩幂法开方则再简单不过。

例5.求√5329。

解：因702＝4900，与5329较接近，所以

√5329＝（√5329×4900）／70

≈（5329+4900）／2／70

＝10229／140

≈73.06

≈73

（3）如果我们能找到的平方数，与被开方数仍有较大差距，而我们又需要很高精度，可以先把被开方数写成C＝a2±b的形式，然后令n＝2a／b，四舍五入取整数，再将根号下的被开方数乘以n2，同时，根号外除以n，然后再按前述的方法求平方根近似值。

这里，我把n命名为扩幂参数，如果算出的n恰好是一个整数，那么根号下乘以n2扩幂后，也恰好是（na±1）2-1；如果算出的n不是整数，要四舍五入取整数，根号下乘以n2后，也必在（na±1）2附近不远处。

例6.求√87＝？（精确到六位有效数字）。

解：87=81+6＝92＋6， 81与87之间的差距显然超过2%了，根号下直接乘以81来求平方根，显然精度达不到要求，连四位有效数字都达不到，这时n＝2×9÷6＝3，所以

√87=（√87×32）／3

＝（√783）／3

＝（√783×784）／3／28

≈783.5／84

≈9.32738

这里783与784之间差距已经小于2‰（即1／500），所以计算结果四舍五入后足可达到六位有效数字的精度。

例7.求√19，（精确到四位有效数字）。

解：√19=（√19×9）／3

＝（√171×169）／3／13

≈170／39

≈4.359

这是一道网红题，有短视频专门讲这道题，但视频里的解题方法以及达到的精度，很难让人满意。

因19＝42+3，n＝2×4／3＝8／3≈3，后面171与169之间差距已小于2%，所以最后结果四舍五入能达到四位有效数字的精度。

（4）如果所求的平方根，要求有效数字的位数较多，扩幂可以多次进行，开平方所能达到的精度，没有上限。

例8.求√3，精确到八位有效数字。

解：√3=（√3×16）／4

＝（√48×14×14）／4／14

＝（√9408×9409）／56／97

≈9408.5／5432

≈1.7320508

这里经过了三次扩幂，最后的9408与9409相差仅有约万分之1，足可以保证八位有效数字的精度要求。

例9.求√2，精确到12位有效数字。

解：√2=（√2×2×2）／2

＝（√8×6×6）／2／6

＝（√288×34×34）／12／34

＝（√332928×332929）／408×577

≈332928.5／235416

≈1.41421356237

经过四次扩幂，最后误差小于一千亿分之0.5，因√2的首位数字是1，非常小，所以最后结果四舍五入仍可达到十二位有效数字的精度。如果是用长除法来开，小数点后面要补24个0才能算出。

（5）有一种特别情况，被开方数与某个完全平方数相差4，那么把被开方数乘以临近的完全平方数，结果还是一个与某个完全平方数相差4的数，如果需要多次扩幂，可以重复操作，不必计算扩幂参数。

例10.求√53。精确到六位有效数字。

解：√53=（√53×49）／7

＝√［（512-4）×512］／7／51

≈（512-2）／357

＝2599／357

≈7.28011

第二次扩幂时，根号下被开方数与512相差4，而4／512＝4／2601＝16／10204＝1.6／1020.4，是小于2‰的，所以结果可以达到六位有效数字的精度。

当然，有时候用扩幂参数可能更好。

二.扩幂开方术的原理

（1）平均数法则

在扩幂开方术中，求平方根近似值，必须先了解平均数法则：两个非常接近的正数的几何平均值，近似等于它们的算术平均值。

用代数来表示即：若a＞0，b＞0，a／b≈1，那么√ab≈（a＋b）／2。

推导证明过程见下方照片：

a和b的平均值为（a＋b）／2，那么

a＝（a＋b）／2＋（a-b）／2

b＝（a＋b）／2-（a-b）／2

平均数法则的推导

当a和b非常接近时，（a-b）2／（a＋b）2是个非常小的数字，只要误差小于精度要求，后面的（a-b）2／（a＋b）2完全可以舍弃，因此

√ab≈（a＋b）／2

用（a＋b）／2作为√ab的近似值，误差比例大小就是最后面的小尾巴（a-b）2／2（a＋b）2，我们可以根据a和b的数值，把误差比例算出来。

日常应用中，平方根一般能达到四位有效数字的精度即足够，此时误差比例应小于0.005%，即

（a-b）2／2（a＋b）2＜0.00005

|（a-b）／（a＋b）|＜0.01

同样方法可以推算出，当

|（a-b）／（a＋b）|＜0.001时，算出的平方根近似值可以达到六位有效数字的精度；当

|（a-b）／（a＋b）|＜0.0001时，算出的平方根近似值可以达到八位有效数字的精度。

不过实际上，在平方根首位数字较小时，即便｜（a-b）／（a＋b）丨略大于上面的数字，仍可达到有效数字的位数要求。

需要注意的是，误差是因为该减的没有减而造成的，所以用这种方法算出的平方根近似值，总是比真实值略大些，在一些关键数位舍入时，宜舍不宜入，前面已经用√65举例说明了。

既然已经推算出了误差比例为（a-b）2／2（a＋b），那么可不可以拿来修正误差？当然可以，因此

√C＝√ab

≈（a＋b）／2×［1-（a-b）2／2（a＋b）］

＝（a＋b）／2-（a-b）2／4（a＋b）

这个公式相当于用了两次平均数法则，所以精度更高，只要a与b相差不超过2／10，或者说（a-b）／（a＋b）不超过1／10，计算结果就可以达到四位有效数字精度；如果a与b相差在2%以内，平方根精度将可达到八位有效数字。

（2）扩幂求根

根据平均数法则，稍有点数学基础的人，不难推导出巴比伦算法。对于√x来说，可以估测一个平方根a，那么

x＝a×（x／a）

√x＝√a×（x／a）

≈（a＋x／a）／2

如果精度不够，多迭代几次就行了。

在巴比伦算法里，被开方数始终不变，只是通过迭代计算，平方根被一步步逼近。

扩幂开方术，则走了另一条道路，通过不断扩大被开方数，使得新的被开方数在被写成ab相乘形式时，a／b更接近1，误差比例（a-b）2／2（a＋b）2更接近0，从而求得更精确的平方根。

（3）扩幂参数

在扩幂开方术中，扩幂参数n＝2a／b，这是怎么得来的？

我们可以被开方数C先写成a2±b（a＞＞b）的形式，如果b相对于a2非常非常小，以致于略掉b也不影响精度时，可以直接用a作为被开方数C的近似平方根。但如果b还较大，则可以通过配方法来减小误差，提高精度。即

C＝a2±b

＝a2±2a×b／2a＋（b／2a）2-（b／2a）2

＝（a±b／2a）2-（b／2a）2

经过配方后，被开方数仍是一个平方数与一个较小的数相减的形式，由于（b／2a）2比原来的b小的多，因此用a±b／2a作为C的近似平方根，比用a作为近似平方根更加精确。

网上有很多短视频，把a＋b／2a作为被开方数a2＋b的平方根近似值求解公式，但都不讲怎么把控精度，因为他们自己都不知道该怎么估算精度，当然也就无从谈把控。这里我给以说明：当把被开方数C写成a2±b之后，如果b／C＜2%，那么用a±b／2a作为C的近似平方根时，可以达到四位有效数字的精度，如果a的首位数字较小，即使b／C略大于2%，也仍可达到四位有效数字精度。

配方后，如果还需要更高精度，可以把被开方数乘以那个配方后的平方数，不过为便于计算，我们希望平方数部分最好是个整数，被开方数与平方数之间的差值最好为1，这样在我们使用平均数法则的时候，非常容易口算出它们的平均值，为此，我们可以把被开方数先乘以（b／2a）2的倒数（2a／b）2，这样就可以把后面那个小尾巴变成1。

C＝a2±b

＝（a±b／2a）2-（b／2a）2

＝［（a±b／2a）2-（b／2a）2］×（2a／b）2／（2a／b）2

＝［（a±b／2a）2（2a／b）2-1］／（2a／b）2

＝｛［a（2a／b）±1］2-1｝／（2a／b）2

我们令（2a／b）＝n，代入简化即可得到

√C＝√［（na±1）2-1］／n

这就是扩幂参数的由来。

实际计算时，只要将被开方数C乘以扩幂参数n2后，便可直接知道是到了哪个完全平方数附近，并不需要专门去配方。

如果2a／b恰好是一个整数，当然最好不过，不过很多时候2a／b并不是一个整数，那样的话，要计算（na±1）2就会很麻烦，这时我们可以把n四舍五入使用，让（na±1）2成为一个整数，n2（b／2a）2虽然不是1，也是一个不大的数，对计算影响不大，而且因为是整数，计算起来更为简便。

三.扩幂开方术的优点

与传统方法相比，扩幂开方术的优点是显而易见的。首先，原理非常简单易理解，整个推导过程，全部都是初中知识。其次，扩幂开方术计算量较小，运算到最后，得到的是一个分数，只需用一次普通除法即可。如果是分数算式中出现的根号，开平方得到的平方根近似值，可以先与其他数字约分或合并，简化后再计算。运气好时，说不定连除法都省了。比如要计算28√3，因为√3≈48.5／28，所以28√3≈48.5，这比先用其他方法开出√3≈1.732，再与28相乘，省事多了。如果分母有根号，也不必先做分母有理化，直接计算就可以。例如求12／√7的值：

12／√7

≈12／（63.5／24）

＝288／63.5

＝576／127

≈4.535

这比过去先手工开出√7≈2.646，再12÷2.646，是不是更简单？

关于开平方公式

能不能把手算开平方的方法，浓缩到一个公式里，使用公式来精确开平方呢？当然可以。网上一般是把

√C＝√（a2＋b）≈a＋b／2a作为开平方公式来用，精度不够就多次迭代。我这里再提供几个更精确的开平方公式。

（1）如果C＝a2±b，那么

√C≈a±b／2a-b2／（8a3±4ab）

这是我采用配方法，对被开方数经过两次配方、化简，得到的近似公式，推导过程比较复杂，这里就不详细写了。公式精度还算不错，网友若有兴趣可自己验证。

（2）如果C＝a2＋b，那么

√C≈a＋2ab／（4a2＋b）

这是根据连分数公式，只计算前两层推出的开平方公式，形式相对简单，也只需算一次除法，但精度也较差，不如前一个公式。

（3）找到一个最接近被开方数C的平方数a2，那么

√C≈aC／（a2＋C）＋（a2＋C）／4a

这是我用扩幂开方原理和牛顿法结合推导出来的，需用到两次除法，但精度却相当不错，只要a2与C之间相差不超过C的1／35，即可达到八位有效数字精度。

例11.求√37，精确到八位有效数字。

解：与37最接近的完全平方数是36，36与37相差1／37，所以用公式来算可以达到精度要求。

√37≈6×37／（36＋37）＋（36＋37）／4／6

＝222／73+73／24

≈6.0827625

虽然有这些公式可以选用，但若掌握了扩幂开方术，就没必要记这些公式了。

写在最后

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